Situation de concurrence pure et parfaite

Léa gère une entreprise. Un nouveau produit est lancé sur le marché.
Le prix de vente d'un millier d'unités du produit, imposé par le marché, est de \(6\ 300\) euros.

On admet que l'entreprise vend toute sa production.
Sur le graphique suivant, la droite représente le chiffre d'affaires (en centaines d'euros) en fonction de la production \(q\) (en millier d'unités). On l'a modélisé par la fonction \(q\mapsto 63q\).
La courbe représente le coût total de fabrication (en centaine d'euros) en fonction de la production \(q\) (en millier d'unités). On l'a modélisé par la fonction \(q\mapsto \dfrac{1}{3}q^3+180\).
L'entreprise réalise un bénéfice sur ce produit lorsque le chiffre d'affaires dépasse le coût total de fabrication.

1. En l'absence de production, à combien s'élève le coût total de fabrication ?
2. Pour une production de \(9\) milliers d'unités :
    a. Quel est le chiffre d'affaires ?
    b. Quel est le coût total de fabrication ?
    c. L'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?
3. Le bénéfice est-il plus important si l'entreprise produit \(9\) milliers d'unités ou si elle produit \(10\) milliers d'unités ? Justifier.
4. Par lecture graphique, déterminer pour quelles valeurs de \(q\) l'entreprise réalise un bénéfice.
5. On définit la fonction bénéfice \(b\) sur \([0~;13]\) par \(b(q)=63q-\dfrac{1}{3}q^3-180\).
    a. Montrer que \(b\) peut aussi s'exprimer par \(b(q)=-\dfrac{1}{3}(q+15)(q-3)(q-12)\).
    b. Étudier le signe de la fonction \(b\).
    c. Est-ce cohérent avec la réponse à la question 4 ? Pourquoi ?